Con questo articolo termina l’introduzione alle medie algebriche con la certezza che il lettore avrà definitivamente acquisito il concetto di derivazione dal criterio decisionale del Chisini e con la consapevolezza di aver fornito una chiara illustrazione del concetto di media, sia essa aritmetica, geometrica, armonica che introdurremo di seguito o qualunque altra media algebrica derivabile.
La media armonica, semplice o ponderata, è la stima più corretta della tendenza centrale di una distribuzione di n modalità in cui devono essere usati gli inversi 1/ai e viene pertanto utilizzata quando i valori ai della variabile A sono espressi come rapporti di un totale costante e non hanno dunque natura lineare – additiva e nemmeno moltiplicativa.
Definizione : la media armonica semplice viene definita come l’inverso della media aritmetica degli inversi delle modalità.
Formula : media armonica semplice = A = n / SOM (1 / ai)
Vediamo ora come essa deriva dal criterio del Chisini definendo la funzione f(a1, a2, …, an) come la sommatoria degli inversi delle modalità (a1, a2, …, an), tale per cui deve essere verificata la seguente uguaglianza :
f ( 1 / a1 + 1 / a2 +,…,+ 1 / an) = f( 1 / A + 1 / A +,…,+ 1 / A ) = f ( n / A )
Proviamo a sostituire alla simbologia un esempio numerico concreto:
sia data la seguente distribuzione : A = [2,3,8,25,30]
calcoliamone la media armonica semplice A = 5 / (1/2 + 1/3 + 1/8 + 1/25 + 1/30) = 5 / (0,500 + 0,333 + 0,125 + 0,04 + 0,03) = 5 / 1,028 = 4,86
Verifichiamo l’uguaglianza della funzione introdotta dal criterio decisionale del Chisini :
(1/2 + 1/3 + 1/8 + 1/25 + 1/30) = 5/4,86 = 1,028 = 1,028
Abbiamo in tal modo trovato quel valore reale M intermedio tra il minimo min(a) ed il massimo max(a) [criterio di internalità], il quale, rispetto ad una funzione sintetica delle osservazioni [prodotto delle modalità osservate], ne lascia inalterato il valore [criterio di rappresentatività del Chisini].
Ci soffermiamo, come nel caso della media aritmetica e geometrica, al caso in cui la distribuzione delle modalità sia espressione di una progressione armonica cioè di una successione di valori formata dai reciproci dei termini di una progressione aritmetica :
A = [1, 1/2, 1/3, …, 1/n, 1/(n+1), 1/(n+k), …]
Vedremo, tramite un esempio numerico, che la media armonica semplice di una progressione armonica è, come per la media aritmetica semplice nel caso di progressione aritmetica e per la media geometrica semplice nel caso di progressione geometrica, un valore realmente osservato (da qui il termine di media armonica ).
Consideriamo una distribuzione di dati A = [1, 1/2, 1/3 , 1/4, 1/5], espressione di una progressione armonica.
Calcoliamo la media A = 5 / [1 + 1/(1/2) + 1/(1/3) + 1/(1/4) + 1/(1/5)] = 5 / (1 + 2 + 3 + 4 + 5) = 5/15 = 1/3
Introduciamo brevemente anche la media armonica ponderata dandone una definizione : la media armonica ponderata viene definita come l’inverso della media aritmetica ponderata degli inversi delle modalità.
In formula = media armonica ponderata = n / SOM (ni / ai)
La definizione precedente è stata fornita per il caso di una variabile discreta. Quando invece la variabile è nota mediante modalità raggruppate in classi ricordiamo, per l’ennesima volta, che si conviene di utilizzare il valore centrale della classe discretizzando di fatto la variabile continua.
Come già ampiamente detto ma senza stancarsi di ripeterlo, tale convenzione è del tutto arbitraria e giustificata solamente dalla sua semplicità.
Concludiamo il capitolo sulle medie algebriche con un’ultima considerazione legata al criterio di internalità introdotto da Cauchy secondo il quale una media algebrica di una qualsiasi variabile A è qualunque valore reale M intermedio tra il minimo min(a) ed il massimo max(a) di una distribuzione di frequenza, tale che :
min(a) < = M < = max(a)
Per le medie algebriche introdotte, aritmetica, geometrica ed armonica tale relazione può essere così definita :
min(a) < = A < = G < = M < = max(a)
dove A rappresenta la media armonica, G la media geometrica e M la media aritmetica.
A partire dal prossimo articolo verranno introdotte misure di tendenza centrale diverse dalle medie algebriche fin qui trattate.
Bibliografia :
Statistica per le decisioni
Piccolo D.
Il Mulino
Statistica applicata alla ricerca biologica ed ambientale
Prof. Soliani L.
Uni Nova Editore
