La media geometrica semplice viene utilizzata quando le variabili non sono rappresentate da valori lineari, ma da valori ottenuti mediante prodotti o rapporti di valori lineari, cioè qualora abbia senso moltiplicare fra loro le modalità statistiche poichè il fenomeno in esame non ha natura additiva.
Essa viene generalmente utilizzata al posto della media aritmetica quando si deve determinare un confronto fra superfici, volumi, tassi di accrescimento e per tutti quei valori che sono espressi da rapporti.
Per il calcolo della media geometrica semplice è condizione necessaria che le modalità osservate siano tutte positive e nel caso in cui alcune di esse fossero negative si deve ricorrere necessariamente al loro valore assoluto in quanto tale media viene calcolata mediante l’estrazione di una radice di ordine n.
Definizione : la media geometrica semplice viene definita come la radice di ordine n del prodotto delle modalità osservate.
Formula : G = RAD(n) [a1 x a2 x … x an].
Vediamo ora come essa deriva dal criterio del Chisini definendo la funzione f (a1, a2, …, an) come il prodotto delle modalità (a1, a2, …, an), tale per cui deve essere verificata la seguente uguaglianza :
f (a1 x a2 x,…,x an) = f (G x G x,…,x G)
Proviamo a sostituire alla simbologia un esempio numerico concreto:
sia data la seguente distribuzione : A = [10,23,8,98,11]
calcoliamone la media geometrica semplice G = RAD(5) [10 x 23 x 8 x 98 x 11] = 18,17554
verifichiamo l’uguaglianza della funzione introdotta dal criterio decisionale del Chisini :
(10 x 23 x 8 x 98 x 11) = (18,17554 x 18,17554 x 18,17554 x 18,17554 x 18,17554) = 1.983.520
Abbiamo in tal modo trovato quel valore reale G intermedio tra il minimo min(a) ed il massimo max(a) [criterio di internalità], il quale, rispetto ad una funzione sintetica delle osservazioni [prodotto delle modalità osservate], ne lascia inalterato il valore [criterio di rappresentatività del Chisini].
Ci soffermiamo, come nel caso della media aritmetica semplice, al caso in cui la distribuzione di dati sia espressione di una progressione geometrica, cioè di una successione di valori tali che il rapporto fra ciascuno di essi ed il precedente sia costante cioè tale che ciascun termine sia ottenibile dal precedente moltiplicandolo per una costante q, chiamata ragione della progressione.
Se la ragione q vale 1, i valori della progressione geometrica sono tutti uguali, se essa è positiva allora tutti i termini della progressione sono di segno positivo mentre se risulta negativa i termini hanno segno alterno.
Vedremo, tramite un esempio numerico, che la media geometrica semplice di una progressione geometrica con numero di termini dispari è, come per la media aritmetica semplice nel caso di progressione aritmetica, un valore realmente osservato (da qui il termine di media geometrica).
Consideriamo una distribuzione di dati A = [2,*10*,50], espressione di una progressione geometrica di ragione 5.
Calcoliamone la media G = RAD(3) [2 x 10 x 50] = 10.
A differenza della media aritmetica semplice, ovviamente, la media geometrica semplice non è baricentro della distribuzione di dati.
Introduciamo brevemente anche la media geometrica ponderata dandone la definizione : la media geometrica ponderata viene definita come la radice di ordine n del prodotto delle potenze avente per base i valori delle modalità osservate e per esponente le relative frequenze o pesi.
In formula : G = RAD(n) [a1^n1 x a2^n2 x … x ak^nk)
Vale anche per la media geometrica poderata e per ogni tipo di media algebrica ponderata la convenzione di assumere come valore rappresentativo di ogni classe il valore centrale nell’ipotesi concettuale che la distribuzione di tali valori entro ogni classe sia uniforme.
A differenza della media aritmetica, semplice o ponderata, per la media geometrica non sempre è agevole effettuarne il calcolo, entrando in gioco radici di ordine elevato, potenze aventi esponenti talvolta elevati.
A tal proposito introduciamo due formule strettamente legate matematicamente alle formule sopra indicate che snelliscono notevolmente i passaggi per poter effettuare il calcolo di tale media algebrica.
In questo articolo non introdurremo un esempio numerico per il calcolo in quanto, come già anticipato nell’articolo della settimana scorsa, tale media avrà utilità pressocché nulla in climatologia.
Formula semplificata media geometrica semplice = EXP { SOM [log (ai)] / n }
Formula semplificata media geometrica ponderata = EXP { SOM [log (a1) x ni] / n }
Tralasciando i legami matematici che intercorrono fra le potenze ed i logaritmi, definiamo la media geometrica come l’esponenziale della media aritmetica del logaritmo neperiano delle modalità.
Bibliografia :
Statistica per le decisioni
Piccolo D.
Il Mulino
Statistica applicata alla ricerca biologica ed ambientale
Prof. Soliani L.
Uni Nova Editore
